白箱蒙地卡羅模擬於時程風險之應用

前言 Introduction

專案管理知識體系(PMBOK, Project Management Body of Knowledge)經多年的發展，已成為專案管理的標準而被廣泛應用在不同行業，例如軟體、工程、土木、營建與汽車等。根據PMBOK指南中的定義，將專案管理分為九大知識領域，包含整合、範疇、時間、成本、品質、人力資源、溝通、風險與採購管理。其中在專案管理實務中，使用頻率最高的2個數學分析技術分別為，時間管理內的要徑圖與溝通管理內的S-Curves。但在計畫階段所產出的要徑圖與S-曲線圖皆由專家經驗或歷史資料所制定出來的，其中包含許多不確定因數，也因為如此，人們常透過蒙地卡羅方法來對所定義的模型進行測試與驗證，以找出模型的特徵。

蒙地卡羅方法 Monte Carlo Method

參考維基百科的說明，蒙地卡羅方法也稱統計模擬方法，是一種以機率統計理論為主，且非常重要的數值計算方法。也就是透過隨機數來解決很多計算問題的方法(圖一)。蒙地卡羅方法在計算物理學（如粒子輸運計算、空氣動力學計算、量子熱力學計算），宏觀經濟學，生物醫學，金融工程學等領域應用廣泛。

在解決實際問題的時候應用蒙地卡羅方法主要有5個簡單的步驟：

• 步驟一，建立參數模型， y = f (X1, X2, … , Xq)。
• 步驟二，產生一組隨機輸入數值，Xi1, Xi2, …, Xiq。
• 步驟三，透過步驟二的數值對模型求值，並將結果存為 yi。
• 步驟四，重複步驟二與三至一定的次數 n。
• 步驟五，透過相關圖表分析模擬結果。

以蒙地卡羅方法求圓周率為例，一個正方形邊長為1單位長，面積為1平方單位。黃色扇形面積等於半徑為1單位長的1/4圓，面積為pi/4。在正方形內均勻隨機丟石頭，落在扇型內的機率 = 扇型面積÷正方形面積=pi/4。所以只要隨機產生N個座標(x,y)，看看座標(x,y)落在扇形中(x2+y2<1)的次數有幾次。落在扇形中的次數除以N再乘上4的數值理論上就會接近圓周率PI(圖二)。

近十年來，隨著各種專案管理案例的分享，管理手法的發展日趨成熟。其中在學術與實務上，對數值模擬與分析，大部份都是採用現成的軟體產品進行操作。例如，最知名的@Risk（圖三）與Monte Carlo for Primavera模組等軟體。透過這些動輒近十萬甚至百萬的軟體進行相關參數的調整，並待模擬完成後，直接提供使用者模擬後的最佳解答，這種省略中間過程的做法，就像黑盒子般令人無法一窺究竟，似乎也抹去了模擬過程中所代表的意義。

模型發展 Model Development

為了一窺模擬的究竟，本文將以MS Excel ^©內建的VBA（Visual Basic for Application）程式指令，實作專案時程的蒙地卡羅模擬。如此，不僅可以完整呈現整個模擬的過程，一覽所有模擬的分布，更讓我們可以追朔每一個模擬的源頭，再次檢視每一個任務的工期與限制。

參考前述的5個步驟，本次模擬的步驟設計如下：

• 訂定專案的WBS與每個任務的工期參數模型。
• 隨機輸入每個任務的工期。
• 求出時程要徑與各月份的累計實獲值。
• 重複步驟2與3共1000次。
• 將得到的模擬數據，透過MS Excel圖表功能呈現完整資訊。

第一步

WBS模型將透過MS Excel ^©來實作，在工期的部分，以每個任務的工期作為常態分布的中間值，並給予標準差，透過亂數產生一落於該區間內的值作為新的工期。

而各任務間的關聯部分，原本也打算利用MS Excel ^©欄位實作，並利用VBA程式指令撰寫自有的CPM計算函式，以降低整合外部專業時程軟體的複雜性；但考量自行設計的CPM計算函式，不易向第三方證明其公正性，又將成為另一個待驗證的黑箱作業，最後決定透過普及率最高的排程軟體之一MS Project ^©作為CPM計算的模型。

第二步

透過MS Excel內建的亂數函式，依所需模擬的次數產生前述模型規範的工期。

第三步

將步驟二產生的專案，逐一發布至步驟一所建立的CPM模型內。透過MS Project自動計算的特性，立即取回要徑，總工期與每月付款金額等資訊。

第四步

重複步驟二與三，並計算模擬時間，以利效能調教用。

第五步

最後透過MS Excel ^©對模擬結果進行統計分析，計畫產出要徑統計表，總工期分布圖，S-Curves分布圖。

在VBA程式設計方面，考量實用性，我們預先設計好的MS Excel模擬樣板檔案內含四個步驟按鈕，以提供使用者更多選擇性(圖四)。

按鈕一　產生專案資料

透過VBA指令“Randomize”啟動亂數引擎，再透過“RND”產生亂數表，讓每個任務的工期利用以工期與標準差作為常態分布的參數，產生新的工期，並將結果存入 “DATA”工作表。經重複此步驟1000次後，即可得到所有待模擬的專案資料(圖五)。

按鈕二　開始模擬

依序從第一個專案開始，將每一個任務的工期與成本逐一更新至MS Project上，並於更新完畢後，立即將各任務的要徑狀態，專案總工期與每月現金流量等資訊回存MS Excel內。

按鈕三　產生標準差序列

對所有模擬的總工期進行標準差分析，透過MS Excel ^©內建的標準差函式，取得所有參數，包含中間值，最大值，最小值與標準差等。再依序產生分布圖的統計間隔序列(圖六)。

按鈕四　整合成本資料

為了讓所有模擬結果的曲線長度一致，以利堆疊的呈現。我們先找出所有模擬專案中最長的付款月數作為基數，依序按每個模擬的付款月數與最長付款月數的比例取得付款金額，並將結果存至“CostPercent”工作表內(圖七)。

模型應用 Model Application

在實際操作方面，我們以一個工期約二年的廠房營建專案為例。首先，我們一如往常的參考歷史資料與專家建議，在MS Project上建立第一層的WBS (Work Breakdown Structure)，輸入每個任務的前後關聯與成本資訊(圖八)。

將WBS與工期匯出至MS Excel ^©，並對每個任務給予一個標準差，點選按鈕一將詢問模擬次數，輸入1,000次後，約4秒完成模擬資料的產生(圖九)。

瀏覽“Data”工作表內的模擬資料，可雙重確認是否有產生不合理的工期，若無誤，可點選按鈕二開始進行模擬。同時，將看見MS Project ^©上的工期不斷變化，右側甘特圖中的要徑也隨著變化。最後約106秒後完成模擬，要徑統計圖即可在“CPM統計”工作表中取得(圖十)。

再透過按鈕三產生標準差序列，而總工時統計圖即可在“Duration Chart” 工作表中取得(圖十一)。

最後點選按鈕四整合成本資料，可立即取得所有模擬專案的按月累計實獲值表，並在“Cost Chart”工作表中取得所有專案的S-Curves圖(圖十二)。

限制 Limitations

效能，目前以專案WBS的第一層共16個任務為例，模擬1,000次耗時約100秒。若考量模擬10,000次，預估將耗時1,000秒。原本擔心在WBS增加時，會大幅增加模擬的時間，但經測試發現MS Project都在1秒內完成要徑的計算。另外，在模擬次數大幅增加的情況下，尚可透過關閉MS Project動態更新甘特圖的方式，大幅減少螢幕更新的作業，亦可縮短模擬的時間。

項目數量，由於MS Excel ^©有256個欄位與65536個行數的限制，因此，在程式發展上，若以欄作為WBS的存放位置，則256個WBS的專案屬於中小型的專案，大型的專案就必須考量以行為存放位置，但模擬次數就被限制在256次內，而這樣的模擬次數則過於不足，未來可考慮分割模擬數據的方式進行。

MS Excel ^©的Trend Chart一次只能呈現250條曲線，如本例，1,000次的模擬就必須分成四個曲線來顯示。為了顯示整個S-Curves的風險寬度，未來可考慮對模擬後的數據再做一次標準差分析，最後只需繪製數十條S-Curves即可一窺全貌。

結論 Conclusion

專案時程的發展涉及大量的管理影響因子，給予越多的限制與條件，只會讓模型的特質更狹隘，這類管理性的課題特別適合透過蒙地卡羅方法來模擬。而模型參數的品質將對模擬的結果有絕對的影響，因此，專案管理團隊可將重心放在個任務模型參數的發展上，針對個任務的特性，逐一發展最佳化的參數，讓模擬更接近真實。

由於專案本質的獨特性，市售的軟體產品未必符合各專案的需求，本文透過專案時程發展上，普及率最高且成本最低的二個軟體─MS Excel & Project來完成蒙地卡羅模擬，以取代動輒近十萬甚至百萬的專業模擬軟體。專案管理團隊可依產業特性所需發展自有模擬技術，如此透過科學化的數據分析，更加提高專案團隊與客戶對專案成功的信心。